Groupe quotient - Sous-groupe distingué
Introduction
- soit \(H\subset G\)
- soit \(\pi:\begin{align} G&\longrightarrow H\backslash G\\ g&\longmapsto\bar g=gH\end{align}\)
[!question]
Existe-t-il une structure de groupe \(\otimes\) sur \(G/H\) telle que \(\pi\) soit un morphisme de groupes ?
Condition nécessaire : \(\pi(1)=H\) soit être le neutre de \(G/H\) (i.e. On doit avoir \(H\otimes\bar g=\bar g\otimes H=\bar g\))
\(H\times gH=gH\longrightarrow gHg^{-1}=H\)
Définition
Définition :
Doit \(H\subset G\)
On dit que \(H\) est distingué et on note \(H\triangleleft G\) si et seulement si $$\forall g\in G,\qquad gHg^{-1}=H$$
Proposition :
Si \(H\triangleleft G\), l'ensemble quotient peut être muni d'une structure de groupe caractérisée par : $$g_1H\otimes g_2H=g_1g_2H$$
On a alors \(G/H=H\backslash G\)
C'est l'unique structure de groupe telle que \(\pi\) soit un morphisme
Caractérisation
Pour montrer que \(H\triangleleft G\), il suffit de montrer que $$\forall g\in G,\qquad gHg^{-1}\subset H$$
Formules
$${{gHg^{-1} = H}}\iff {{gH=Hg}}$$
